Pour une logique de l'univers élémentaire

La théorie des groupes joue un rôle majeur en physique des particules élémentaires. Ainsi, le groupe SU5 a-t-il permis d'établir que, malgré les apparences, quarks et leptons n'étaient pas irrémédiablement différents et appartenaient à la même famille.

C'est au groupe G3 qu'on fera ici appel.

En effet, on constate que le tableau des quarante-huit sous-ensembles des six permutations du groupe G3 (voir la page Figures) est construit sur le même modèle que le tableau regroupant les quarante-huit particules et antiparticules élémentaires du Système Standard qui propose une représentation théorique de l'univers subnucléaire (voir la page Figures).

Après avoir analysé la correspondance entre les deux tableaux, on en examinera les implications.

 

Le tableau mathématique

Soit E = {a,b,c} un ensemble de trois éléments abstraits. On désigne par G3 l'ensemble des six permutations de E. Si l'on figure l'image de E par chacune des six permutations, on obtient successivement six arrangements qui se répartissent logiquement en trois familles de deux branches chacune :

1ère famille 2ème famille 3ème famille
(a,b,c) (a,c,b) (b,a,c) (b,c,a) (c,a,b) (c,b,a)

Chaque famille est définie par l'invariant commun à ses deux branches, tandis que chaque branche se distingue de l'autre par l'inversion de ses deux permutants. Ainsi, dans la première famille : (a,b,c) (a,c,b), l'élément a est l'invariant, tandis que les éléments b et c permutent. Les deux autres familles sont construites sur le même modèle, la seconde ayant pour invariant l'élément b et la troisième l'élément c.

Chacune des six images de E est un ensemble de trois éléments et a donc, comme tout ensemble de trois éléments, huit sous-ensembles. Ainsi, les huit sous-ensembles de l'image (a,b,c) sont : (a), (b), (c), (bc), (a,c), (ab), (a,b,c), Ø

L'image (a,b,c) apparaît dans la série parce que tout ensemble est sous-ensemble de lui-même, l'ensemble vide, Ø, est son complément. Puisque chacune des six images de E a huit sous-ensembles, il y a au total quarante-huit sous-ensembles qui constituent un tableau de six lignes et huit colonnes.

Les sous-ensembles de chaque image de E sont classés sur une ligne, dans l'ordre des éléments de l'image. Ainsi, l'ordre des huit sous- ensembles énumérés plus haut est commandé par l'ordre des éléments de l'image (a,b,c), viennent donc en tête les sous-ensembles à un élément : (a), (b), (c) puis, dans l'ordre correspondant, les sous-ensembles à deux éléments : (bc), (ac), (ab), notés dans le tableau, selon l'usage mathématique : (), (), (), pour signifier qu'ils sont les compléments de (a), (b), (c). Le sous-ensemble à trois éléments : (a,b,c), accompagné de son complément, l'ensemble vide, ¢, termine la ligne.

L'image (a,b,c) est placée en première ligne parce qu'elle vient la première dans l'ordre alphabétique, elle ne se confond pas avec l'ensemble {a,b,c} dont les accolades signifient qu'il n'est pas ordonné. Il existe une interprétation géométrique du groupe G3.

Soit (a,b,c) l'ensemble des trois sommets d'un triangle équilatéral de centre o. Six isométries du plan laissent le triangle invariant : la coïncidence, trois symétries, deux rotations de centre o et d'angle + 2/3 et -2/3. A chaque permutation correspond une des six isométries du plan.

 

Le Tableau Standard

La Théorie Standard dénombre vingt quatre particules élémentaires réparties en trois familles de deux branches chacune. Au tableau ainsi constitué correspond un tableau de vingt-quatre antiparticules élémentaires réparties en trois familles de deux branches chacune.

Il est possible de réunir les deux tableaux en un seul, selon le modèle du tableau mathématique regroupant les quarante-huit sous-ensembles des six permutations du groupe G3.

Pour construire le tableau qui réunit les particules et les antiparticules élémentaires, il suffit en effet de déterminer quels sont les correspondants physiques des éléments a, b et c à partir desquels est construit le tableau mathématique. Car, en disposant les trois correspondants physiques selon le modèle des éléments mathématiques a, b et c, on obtient un tableau dans lequel les vingt-quatre particules et les vingt-quatre antiparticules élémentaires sont réunies.

Avant de poursuivre, il faut souligner qu'un sous-ensemble est lui-même un ensemble et que, comme tout ensemble, il ne se confond pas avec son ou ses éléments. Ainsi, le tableau mathématique n'est pas construit à partir des sous-ensembles à un élément (a), (b), (c), mais à partir de leurs éléments a,b,c. Par exemple le complément de (a), le sous-ensemble à deux éléments ne s'écrit pas ( (b), (c)) mais (bc).

De même, le tableau standard n'est pas construit à partir de trois quarks homologues physiques de (a), (b), (c) mais, on va le voir, à partir de leurs trois charges de couleur homologues physiques de a, b, c.

En effet, chacun des trois sous-ensembles : (a), (b), (c) est porteur d'un élément, une lettre, qui le caractérise,de même chacun des trois quarks correspondants est porteur d'un élément, sa charge de couleur qui le différencie des deux autres quarks.

La charge de couleur correspond donc bien aux éléments a, b, c et, selon leur modèle, peut construire le tableau standard.

La chromodynamique quantique permet de décrire le rôle de la couleur dans le remplissage des quarante-huit cases d'un tableau standard "total" regroupant les éléments constitutifs de la matière et de l'antimatière.

Les quarks, particules élémentaires, portent chacun une des trois charges dites de couleur parce qu'elles s'associent comme les couleurs; leurs antiparticules, les antiquarks, portent chacun une des trois charges de couleur complémentaire de celle du quark correspondant.

Les trois couleurs habituellement utilisées pour désigner les charges des quarks sont le rouge, le violet, le vert. Les couleurs - aussi appelées anticouleurs - attribuées aux antiquarks sont le cyan (antirouge), jaune (antiviolet), le magenta (antivert).

La chromodynamique quantique décrit la structure interne des hadrons : les baryons et les mésons.

Les baryons sont formés de trois quarks de couleurs différentes qui s'associent selon les règles habituelles d'addition des couleurs de la lumière et laissent donc le baryon incolore, on dit aussi blanc. Il en va de même pour les mésons, formés d'un quark et de l'antiquark correspondant.

Ainsi, la couleur "globale" du méson pi, porteur d'un quark violet et d'un antiquark jaune, est le blanc. On a, ici, préféré attribuer aux quarks les couleurs fondamentales : rouge, jaune, bleu et aux antiquarks les couleurs complémentaires : vert, violet orange.

En effet, si le tableau standard est à l'image du tableau mathématique, le quark correspond au sous-ensemble à "un" élément, par exemple (a) et l'antiquark correspond à son complément, le sous-ensemble à "deux "éléments (bc). C'est pourquoi le quark porte, ici, "une" couleur et l'antiquark "deux" couleurs dont l'addition constitue l'anticouleur complémentaire.

Dans ce système, le quark du méson pi cité plus haut est jaune (une couleur) et l'antiquark violet (deux couleurs : bleu+rouge) et non l'inverse. Mais dans les deux cas la règle d'addition des couleurs est respectée et la particule reste blanche. Ce bref aperçu de la structure des hadrons résume succinctement deux modalités d'association des couleurs, mais il ne suppose pas l'existence de hadrons dans le tableau Standard, celui-ci groupe uniquement les briques élémentaires constitutives de la matière et de l'antimatière.

Il existe une troisième modalité d'association des couleurs, elle apparaîtra au cours de l'examen du tableau Standard qu'on détaille maintenant. Le tableau Standard "total" comporte, sur six lignes et huit colonnes, vingt-quatre particules et vingt-quatre antiparticules réparties en trois familles de deux branches chacune. Les six branches des trois familles portent chacune, dans leurs trois premières cases, trois quarks de couleurs différentes, placés chaque fois dans un ordre différent. Il y a donc dix-huit quarks inscrits dans les trois premières colonnes du tableau. Ils sont suivis, dans les trois colonnes voisines par les dix-huit antiquarks complémentaires.

Il est plus difficile, dans la septième colonne, de justifier la présence des leptons et antileptons chargés, de haut en bas : l'électron et le positron dans la première famille, le muon et l'antimuon dans la seconde, le tau et l'antitau dans la troisième. Certes, en tant qu' images des sous-ensembles à trois éléments, ils s'inscrivent logiquement après les quarks et les antiquarks, eux- mêmes respectivement images des ensembles à un et deux éléments. Mais comment admettre que les leptons et antileptons chargés, porteurs de trois charges de couleur, soient des particules élémentaires et, surtout, ne soient pas sensibles à la force de couleur, aussi appelée interaction forte?

On peut, d'abord, répondre que l'antiquark, addition colorée de deux charges de couleur, est une particule élémentaire et qu'il en va donc de même pour le lepton ou l'antilepton chargé, addition blanche des trois charges de couleur.

Il est plus malaisé de justifier l'insensibilité des leptons et antileptons chargés à la force de couleur. Celle-ci a sa source dans les hadrons, par exemple un baryon, comme le proton, dans lequel des particules, trois quarks, sensibles à leurs présences réciproques échangent des gluons, les vecteurs de la force de couleur.

En revanche, étant donné leur caractère élémentaire, les leptons et antileptons chargés ne peuvent évidemment pas être le siège d'échanges de gluons entre des particules incluses ni, en conséquence, s'entourer des pions messagers extérieurs des gluons.

A côté des leptons et antileptons chargés, dans la huitième colonne du tableau standard, les leptons et antileptons sans charge électrique - appelés pour ce motif neutrinos et antineutrinos - ont pour homologues mathématiques les ensembles vides, à l'adjectif évocateur, qui pourraient presque passer pour de pures fictions mathématiques auxquelles il ne serait pas raisonnable d'attribuer un équivalent physique.

Cependant, puisque le système des tableaux fonctionne pour les quarante-deux autres composants, il serait bien étonnant qu'il essuie un échec en ce qui concerne les leptons et antileptons non chargés. Effectivement, on peut les visualiser.

Le fait pour les neutrinos et antineutrinos d'être "vides" implique qu'ils ne portent pas les charges de couleur des leptons et antileptons correspondants. Le triangle représentatif du groupe G3 permet de rendre compte de cette vacuité. Pour simplifier l'expression, on désignera, dans ce qui suit, les charges de couleurs fondamentales par les lettres des éléments du tableau mathématique auxquels elles correspondent, soit : rouge=a, jaune=b, bleu=c. Le triangle (a,b,c) représente alors le lepton chargé de la première famille : l'électron. Si l'on retire a, b et c du triangle, celui-ci devenu vide se transforme en neutrino électronique. Dans le tableau standard proposé, le lepton chargé, addition des trois couleurs fondamentales, est donc blanc. Inversement, le neutrino est noir pour symboliser son absence de couleur.

 

Couleur et Électricité

L'interprète géométrique du groupe G3, le triangle équilatéral {a,b,c} de centre o, permet également de rendre compte de l'existence des charges électriques. En effet, on sait que deux des permutations des six éléments du groupe G3 sont des rotations d'un angle de 120° autour du centre o du triangle, l'une dans un sens dit positif, l'autre dans le sens inverse dit négatif. Composées ou non, ces rotations positives ou négatives, soit entières, soit d'un tiers ou deux tiers de cercle, correspondent à toutes les charges électriques positives ou négatives, entières : -1 et +1ou fractionnaires : - 1/3 et +2/3 ou+ 1/3 et - 2/3 de tous les leptons ou antileptons chargés et de tous les quarks et antiquarks.

Ainsi s'expliquerait le fait que les charges électriques des quarks et antiquarks soient des fractions exactes de celles des leptons et antileptons chargés. Ce seraient donc les rotations des charges de couleur aux sommets du triangle qui créeraient les charges électriques. Et voilà pourquoi les neutrinos et antineutrinos sans charge de couleur se trouveraient également sans charge électrique.

Pourquoi décrire la charge électrique par une rotation? En physique quantique, il est parfois commode de représenter la charge électrique par une flèche en rotation autour d'un axe. Ainsi pourrait-on symboliser la charge électrique de +1 par la rotation de 12h à 12h de la trotteuse d'un chronomètre, dont le mouvement vu dans un miroir s'effectuerait en sens inverse et symboliserait la charge de -1. On reprend ici la comparaison en remplaçant la flèche par le triangle dont on suppose qu'il s'agit de l'électron : (a,b,c), sa rotation autour du centre o est dite négative si elle s'effectue dans le sens : a -> b -> c -> a, elle est dite positive si elle s'effectue dans le sens inverse : a -> c -> b -> a. Mais alors, l'électron s'est transformé en positron, le lepton chargé de la deuxième branche de la première famille. Dans le premier cas, l'électron crée une charge électrique de -1, dans le second la charge inverse de +1 est créée par le positron. C'est, ici, la permutation de b et de c qui, en inversant son sens de rotation, transforme l'électron en positron. Le même processus transforme les leptons chargés des deux autres familles en antileptons chargés.

 

Origine du tableau standard

Le tableau standard peut, on l'a vu, se construire à l'image du tableau des quarante-huit sous-ensembles des six permutations du groupe G3, en remplaçant dans leurs cases respectives les lettres a, b et c par les trois charges de couleur de la chromodynamique quantique. En ce cas, de même que tous les composants du tableau mathématique ont pour origine les six arrangements de l'ensemble {a,b,c}, de même tous les composants du tableau standard ont pour origine les six arrangements de l'ensemble des trois charges de couleur correspondant.

Mais un processus mathématique n'est pas toujours aisément transposable en physique et des questions se posent. Comment les six arrangements des charges de couleur - les trois leptons et les trois antileptons chargés - peuvent-ils être à l'origine des quarante-huit composants du tableau Standard et comment eux-mêmes peuvent-ils avoir comme origine un seul ensemble de trois charges de couleur et à quoi correspond cet ensemble ?

Pour répondre à ces questions, il faut considérer l'univers à son début. Actuellement, il n'y a pas de quarks ou d'antiquarks isolés, mais il n'en fut pas toujours de même. Les astrophysiciens, en remontant dans le passé par extrapolation de l'univers actuel, ont décrit les événements cosmiques jusqu'à l'état simplifié à l'extrême d'une "soupe" brûlante de particules et antiparticules élémentaires dans laquelle la colossale chaleur empêchait quarks et électrons de s'associer pour constituer la matière sous sa forme actuelle. Alors, toute particule ou antiparticule élémentaire pouvait se transformer en toute autre, par exemple un électron en quark. Ainsi,à partir des leptons et antileptons chargés, auraient pu être créés tous les composants du tableau standard. Mais, quelle était l'origine de ces leptons et antileptons chargés ?

Selon leur modèle mathématique, les leptons et antileptons chargés répartis en trois familles, seraient créés par couples et issus d'un seul ensemble de trois charges de couleur. Effectivement, répartis en trois familles, les couples électron-positron, muon-antimuon, tau-antitau sont issus d'une seule particule : le photon. La désintégration du photon en un couple électron-positron est connue depuis longtemps, mais il a fallu recourir à la haute énergie dégagée par l'annihilation électron-positron dans un anneau de collision pour obtenir la désintégration d'un photon en un couple muon-antimuon puis, plus difficilement, un couple tau-antitau.

Dans tous les cas, le couple lepton-antilepton est créé par la désintégration du photon qui est donc bien sa particule-origine, même si, actuellement, on ne peut pas obtenir un niveau d'énergie suffisant pour créer les trois couples à la fois, mais ce niveau était certainement atteint immédiatement après le big bang.

A l'image de l'ensemble-origine du tableau mathématique, l'ensemble-origine du tableau Standard, le photon donc par leptons et antileptons chargés interposés, a pour formule : {a,b,c} en remplaçant les lettres par les charges de couleur. Mais alors quelle est sa différence avec 1' électron de formule (a,b,c) ? Comme les lettres de l'ensemble correspondant du tableau mathématique, les charges de couleur de l'électron sont ordonnées et mises entre parenthèses. En revanche, à l'image des lettres de l'ensemble-origine du tableau mathématique, les charges de couleur du photon ne sont pas ordonnées et, pour ce motif, sont placées entre des accolades.

II est impossible, lorsque l'on cite trois éléments de ne pas leur attribuer un ordre quelconque, par exemple a,b,c pour le photon. Mais les accolades annulent cette notion d'ordre, elles signifient seulement qu'il s'agit de trois éléments distincts, mais non ordonnés.

Puisque les charges de couleur du photon ne sont pas ordonnées, elles sont nécessairement toutes trois situées à la même place. Leur union dans le photon selon cette modalité est probablement liée au fait que celui-ci est un boson.

Puisque le photon et l'électron ont la même composition : les charges de couleur, on comprend qu'ils puissent se transformer l'un en l'autre. Par exemple, dans leurs collisions, les électrons et les positrons s'annihilent probablement parce que leurs rotations inverses se neutralisent et que leurs charges de couleur, alors libérées de la rotation, s'attirent puis s'unissent pour créer des photons.

 

Conclusion

Devant la parfaite analogie entre le tableau des quarante-huit particules et antiparticules élémentaires et celui des quarante-huit sous-ensembles des six permutations du groupe G3, on a présumé que les deux tableaux étaient issus du même type de séquence.

En construisant le tableau Standard sur le modèle du tableau mathématique, on a obtenu des résultats surprenants, mais qui ne contredisent pas les données actuelles de la physique des particules. Cette nature commune expliquerait le fait que matière et antimatière puissent se transformer en énergie et vice versa.

Le modèle de tableau ainsi proposé ne comporte que des particules et antiparticules élémentaires isolées. Pour retrouver cette situation, il faut remonter au big bang, une seconde après, selon les cosmologues, les quarks commençaient déjà à s'assembler en protons, c'était la fin de leur isolement.

Selon la logique du groupe G3 - voir figure 1b - un univers photonique primordial se serait désintégré en couples de leptons et antileptons chargés, vraisemblablement derrière la "barrière de Planck" sur laquelle, dans leur remontée vers le passe, les astrophysiciens ont buté 10-43 seconde après le big bang.

Après cette très brève ère leptonique les couples, peut-être par rotations fractionnaires, ont créé les ingrédients de la "soupe" des astrophysiciens : les particules et antiparticules élémentaires, images des sous-ensembles du tableau mathématique.

On peut aussi penser qu'un grand nombre d'entre eux se sont annihilés mutuellement, en recréant de nombreux photons.

 

Discussion

Cette logique, qui classe mathématiquement les éléments du Modèle Standard, a-t-elle un caractère purement spéculatif ou bien le schéma qu'elle propose a-t-il été ratifié par l'expérience ?

En fait, l'expérience a ici précédé la spéculation dans la mesure où elle lui a fourni les données sur lesquelles pouvait s'exercer la réflexion. Celle-ci s'est bornée à utiliser le groupe de permutations G3 pour établir une relation, directe ou indirecte, entre le photon et toutes les particules et antiparticules élémentaires du Modèle Standard.

La simplicité d'un système dans lequel toutes les particules et antiparticules ont la même origine devrait être un gage de son authenticité à une époque où l'unification de ses connaissances est devenue la priorité de la physique.

Que les charges de couleur attribuées au photon permutent ne devrait pas surprendre. Il s'agit, en effet, d'un phénomène fondamental qu'on retrouve au cœur de l'atome, dans le proton par exemple, où les trois charges de couleur permutent incessamment en réalisant, successivement, par l'intermédiaire des gluons, leurs six arrangements possibles.

* Pour en savoir plus, veuillez découvrir le site (lien externe) Photoncréateur